Семинар «Знакомство с элементами высшей математики»
10-11 класс

Программа семинаров

1. Линейная алгебра: векторы, матрицы, базовые операции, обращение матрицы, метод Гаусса решения системы линейных уравнений и обращения матрицы. Реализация основных алгоритмов на языке программирования.
2. Элементы аналитической геометрии: уравнения прямой, расстояние от точки до прямой, кривые второго порядка, прямые в пространстве, уравнение плоскости. Расстояния между прямыми, расстояние от точки до плоскости
3. Пределы функции, асимптоты.
4. Производная, задачи на экстремумы.
5. Неопределенный интеграл, основные приемы интегрирования. Численные методы интегрирования.
6. Определенный интеграл, задачи на интегрирование, объем тел вращения.
7. Дифференциальные уравнения, классификация уравнений. Численные методы решения уравнений.
8. Функции нескольких переменных. Частные производные. Условие экстремума.
9. Элементы векторного анализа, операции div, grad, rot.
10. Кратные интегралы, интегралы вдоль пути. Численные методы интегрирования.
11. Элементы теории вероятностей. Математическая статистика. Виды распределения случайной величины. Моменты распределения.
12. Метод наименьших квадратов и реализация метода на компьютере. Линейные модели и сведение их к избыточной системе линейных уравнений.
13. Ряды Тейлора, Маклорена. Разложение основных функций в ряды. Реализация на компьютере.
14. Периодические функции, ряды Фурье, гармонический анализ. Реализация на компьютере быстрого преобразования Фурье.
15. Функционалы и операторы. Вариационные принципы механики. Задачи на минимизацию функционала.
16. Комплексные числа. Функции комплексного переменного.

Семинары 2015-16 года

1. 29.09.2015 – Векторы, матрицы, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов
2. 06.10.2015 – Система линейных уравнений, метод Гаусса, Обратная матрица.
   • Метод Гаусса (реализация на Pascal ABC
3. 13.10.2015 – Алгоритмы построения обратной матрицы, знакомство с программой MathCAD.
   • Матрицы поворота, обратная матрица (MathCAD)
4. 20.10.2015 – Аналитическая геометрия на плоскости – системы координат.
5. 24.11.2015 – Аналитическая геометрия на плоскости - прямая, точка, кривые второго порядка.
6. 08.12.2015 – Прямые и плоскости в пространстве. Поверхности второго порядка.
7. 15.12.2015 – Замечательные кривые.
   • презентация по замечательным кривым
8. 22.12.2015 – Пределы.
9. 12.01.2016 – Производные.
10. 19.01.2016 – Исследование функций.
11. 26.01.2016 – Интегралы и первообразная.
12. 02.02.2016 – Методы интегрирования.
13. 09.02.2016 – Дифференциальные уравнения.
14. 16.02.2016 – Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
15. 23.02.2016 – Дифференциальные уравнения приводящиеся к однородным.
    • Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений.
16. 15.03.2016 – Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
17. 29.03.2016 – Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
18. 05.04.2016 – Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка и уравнения высших порядков.
    • Конспекты по методам решения дифференциальных уравнений.
19. 19.04.2016 – Теория рядов. Ряды Тейлора и Маклорена.
    • Конспект по теории рядов
20. 10.05.2016 – Ряды Фурье. Интеграл Фурье.
    • Материалы лекции и фалй MathCAD 11
21. 17.05.2016 – Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье.
22. 24.05.2016 – Корреляционная функция. Автокорреляционная функция. Гильбертово пространство. Ортогональность и полнота.
23. 31.05.2016 – Метод наименьших квадратов.
    • Реализация МНК на C#.
24. 07.06.2016 – Корреляционная матрица. Многомерный метод наименьших квадратов. Адекватность модели наблюдениям.
25. 14.06.2016 – Анализ данных на сфере. Алгоритм Healpix. Сферические функции.
    • HealPix на C#.
    • Сферические функции на C#.

Литература

1. Арфкен Г. , Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1970
2. Маделунг Э., Математический аппарат физики. М.: Госиздат, 1961
3. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973
4. Витязев В.В., Спектрально-корреляционный анализ равномерных временных рядов, СПбГУ, 2001